核心结论是 tan 全称 tangent，中文叫做正切，是六大基本三角函数里面非常重要的一类，基础定义为角的正弦值除以余弦值，也就是 tanα 等于 sinα 除以 cosα，在直角三角形锐角场景下，代表锐角对边长度比邻边长度。tan 和 sin cos 不一样，它属于比值型函数，分母 cosα 一旦等于零，tan 就没有定义，所以 tan 自带间断点，周期为 π，是奇函数，图像由多支独立的递增曲线组成，这个函数在初中高中数学 高等数学微积分 物理斜面计算 工程测绘里面都有大量应用，前面我们学习过 tan 定义 tan 公式 tan 导数 tan 积分，全部都是围绕这个 tan 函数展开的知识点。
tan 基础两层定义
第一层 直角三角形锐角定义
在含有锐角 α 的直角三角形中，tanα 等于角 α 对边长度除以邻边长度，这个定义只能够覆盖零度到九十度的锐角，适用范围有限，属于入门版本。
第二层 平面直角坐标系通用定义
任意角 α 终边上取一点 P，坐标是 x y，tanα 等于纵坐标 y 除以横坐标 x，等价于 sinα 除以 cosα，这个定义可以扩展到任意实数角度，包含负角 钝角，是高中和大学统一使用的标准定义。
tan 核心性质
周期性质 tan 最小正周期是 π，不是 2π，这点和 sin cos 周期 2π 不一样，是非常高频易错点
奇偶性质 tan 是奇函数，满足 tan 负 α 等于负 tanα，图像关于原点中心对称
值域 tan 的值域是全体实数，角度靠近间断点的时候，函数值会趋向正无穷或者负无穷
单调性 在每一个连续区间内部 tan 都是单调递增，但是不能说整个定义域上单调递增，因为区间之间存在断开的间断点
定义域 α 不等于二分之 π 加 kπ，k 是整数
tan 配套核心知识点对照表
| 项目 | tan 相关内容 |
|---|---|
| 名称 | 正切 tangent |
| 核心表达式 | tanα = sinα / cosα |
| 最小正周期 | π |
| 奇偶性 | 奇函数 |
| 导数 | sec 平方 α |
| 不定积分 | 负 ln 绝对值 cosα 加 C |
| 常用公式 | 和角差角 二倍角 半角 万能置换 |
tan 实际应用场景
测绘领域，利用 tan 计算高度和水平距离，已知仰角和水平距离，高度等于水平距离乘以 tan 仰角
物理力学，斜面倾角相关受力分析，斜面摩擦力 分力计算会用到 tan
微积分领域，求导 不定积分 极限计算，复合三角函数运算大量调用 tan 相关公式
三角方程求解，解方程的时候经常使用 tan 和角二倍角公式完成化简
学习 tan 的常见误区
第一 混淆周期，误以为 tan 周期是 2π
第二 忘记间断点，直接跨间断点判断单调性
第三 和角公式符号记反，分子分母加减号搞混
第四 积分求导的时候忽略弧度制，微积分里面 tan 相关运算默认全部使用弧度，如果使用角度制需要额外换算
【常见问题】
问题 1 tan 介绍里面 tan 最小正周期为什么是 π 不是 2π
回答 1 tan 介绍当中明确 tan 最小正周期是 π，因为 tan (α 加 π) 等于 tanα，经过 π 之后函数图像重复，不需要等到 2π，这也是 tan 和 sin cos 最明显的区别，学习 tan 介绍的时候一定要重点记住这个特点。
问题 2 tan 介绍里面 tan 为什么是奇函数
回答 1 tan 介绍当中 tan 是奇函数，代入负角之后 tan 负 α 等于负 tanα，本质是 sin 是奇函数 cos 是偶函数，奇函数除以偶函数得到奇函数，满足奇函数判定标准，图像关于原点中心对称。
问题 3 tan 介绍里面 tan 什么时候不存在
回答 1 tan 介绍当中 tan 等于 sinα 除以 cosα，当 cosα 等于零，也就是 α 等于二分之 π 加 kπ 的时候分母为零，tan 不存在，对应的位置就是 tan 图像的垂直渐近线，做题的时候要避开这些间断点。
【免责申明】
本文内容仅作为数学学习参考，tan 介绍相关运算请区分角度制与弧度制，若用于考试或者专业计算请自行核对定义性质与公式。