【用增广矩阵求方程组】在解线性方程组时，增广矩阵是一种非常有效的工具。它能够将系数矩阵和常数项合并在一起，便于进行行变换操作，从而简化求解过程。本文将总结使用增广矩阵求解线性方程组的基本步骤，并通过一个具体例子进行说明。
一、什么是增广矩阵？
增广矩阵是由线性方程组的系数矩阵和常数项组成的矩阵。例如，对于如下方程组：
$$
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
x - 3y = -2
\end{cases}
$$
其对应的增广矩阵为：
$$
\left[\begin{array}{cc
2 & 1 & 5 \\
1 & -3 & -2
\end{array}\right
$$
其中，左边是系数矩阵，右边是常数项。
二、使用增广矩阵求解方程组的步骤
1. 写出增广矩阵：将方程组的系数和常数项组合成增广矩阵。
2. 进行行变换：通过初等行变换（如交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数）将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形。
3. 分析结果：根据最终的矩阵形式判断方程组的解的情况（唯一解、无穷多解或无解）。
4. 写出解：根据最后的矩阵形式写出方程组的解。
三、示例分析
考虑以下线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
3x - y = 7
\end{cases}
$$
步骤1：写出增广矩阵
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 8 \\
3 & -1 & 7
\end{array}\right
$$
步骤2：进行行变换
- 第一步：用 $ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 $ 消去第二行的第一个元素：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 8 \\
0 & -7 & -17
\end{array}\right
$$
- 第二步：将第二行除以 -7，得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 8 \\
0 & 1 & \frac{17}{7}
\end{array}\right
$$
- 第三步：用 $ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 $ 消去第一行的第二个元素：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & \frac{22}{7} \\
0 & 1 & \frac{17}{7}
\end{array}\right
$$
步骤3：分析结果
此时矩阵已经化为简化行阶梯形，可以直接读出解：
$$
x = \frac{22}{7}, \quad y = \frac{17}{7}
$$
四、总结表格
| 步骤 | 操作 | 结果 | |
| 1 | 写出增广矩阵 | $\left[\begin{array}{cc | c}1 & 2 & 8 \\ 3 & -1 & 7\end{array}\right]$ |
| 2 | 行变换：$ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 $ | $\left[\begin{array}{cc | c}1 & 2 & 8 \\ 0 & -7 & -17\end{array}\right]$ |
| 3 | 行变换：$ R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-7} $ | $\left[\begin{array}{cc | c}1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\end{array}\right]$ |
| 4 | 行变换：$ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 $ | $\left[\begin{array}{cc | c}1 & 0 & \frac{22}{7} \\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\end{array}\right]$ |
| 5 | 读取解 | $ x = \frac{22}{7}, \quad y = \frac{17}{7} $ |
五、结语
使用增广矩阵求解线性方程组是一种系统且直观的方法，尤其适用于多个变量的方程组。通过合理的行变换，可以清晰地看到方程组的结构，并准确地找到解。掌握这一方法有助于提高解题效率和逻辑思维能力。