【排列组合公式总结大全】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的计算方法。它广泛应用于概率、统计、计算机科学等多个领域。为了方便学习和应用，以下是对常见排列组合公式的全面总结，并以表格形式呈现。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 排列 | 从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列。 |
| 组合 | 从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序。 |
| 全排列 | n个不同元素全部排列，即P(n, n)。 |
| 重复排列 | 允许元素重复使用时的排列方式。 |
| 重复组合 | 允许元素重复使用时的组合方式。 |
二、排列组合公式总结
1. 排列数（Permutation）
- 定义：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，记作 $ P(n, m) $ 或 $ A_n^m $。
- 公式：
$$
P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
- 说明：当 $ m > n $ 时，$ P(n, m) = 0 $。
2. 全排列（Full Permutation）
- 定义：n个不同元素全部排列，记作 $ P(n, n) $。
- 公式：
$$
P(n, n) = n!
$$
3. 重复排列（Permutation with Repetition）
- 定义：允许元素重复使用的排列方式。
- 公式：
$$
P_{\text{repeat}}(n, m) = n^m
$$
4. 组合数（Combination）
- 定义：从n个不同元素中取出m个元素进行组合，记作 $ C(n, m) $ 或 $ \binom{n}{m} $。
- 公式：
$$
C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
- 说明：当 $ m > n $ 时，$ C(n, m) = 0 $。
5. 重复组合（Combination with Repetition）
- 定义：允许元素重复使用的组合方式。
- 公式：
$$
C_{\text{repeat}}(n, m) = \binom{n + m - 1}{m}
$$
三、常用公式对比表
| 类型 | 公式 | 是否允许重复 | 是否考虑顺序 |
| 排列 | $ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $ | 否 | 是 |
| 全排列 | $ n! $ | 否 | 是 |
| 重复排列 | $ n^m $ | 是 | 是 |
| 组合 | $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 否 | 否 |
| 重复组合 | $ \binom{n + m - 1}{m} $ | 是 | 否 |
四、典型应用场景
| 场景 | 应用公式 |
| 从10人中选出3人组成小组 | $ C(10, 3) $ |
| 从10人中选出3人并安排职位 | $ P(10, 3) $ |
| 用数字0~9组成三位密码 | $ 10^3 $ |
| 从5种水果中选3种作为礼物 | $ C(5, 3) $ |
| 从5种水果中选3种并允许重复 | $ \binom{5 + 3 - 1}{3} = \binom{7}{3} $ |
五、注意事项
1. 区分排列与组合：排列关注顺序，组合不关注。
2. 注意边界条件：如 $ C(n, 0) = 1 $，$ C(n, n) = 1 $。
3. 避免混淆重复与非重复情况：根据题意判断是否允许重复使用元素。
4. 灵活运用公式：有些题目可能需要结合多个公式进行计算。
通过以上总结，可以系统地掌握排列组合的基本概念与公式，为解决实际问题打下坚实基础。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。