拉格朗日中值定理证明

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在一个闭区间上的平均变化率与该区间内某点处瞬时变化率之间的关系。其内容可以表述为：如果函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

这一结论表明，函数在区间两端点连线的斜率（即平均变化率）等于某点处的导数值。

证明过程：

为了证明拉格朗日中值定理，我们构造辅助函数。定义辅助函数

$$

F(x) = f(x) - \left[\frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a)\right].

$$

这个函数的几何意义是将函数 $ f(x) $ 的图像与区间两端点连线的图像之间的差值用一个新函数表示出来。显然，$ F(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，并且满足以下条件：

- $ F(a) = 0 $,

- $ F(b) = 0 $.

因此，$ F(x) $ 满足罗尔定理的所有条件。根据罗尔定理，在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $ F'(\xi) = 0 $。

接下来计算 $ F'(x) $。由定义可知，

$$

F(x) = f(x) - \left[\frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a)\right],

$$

对 $ x $ 求导得

$$

F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

令 $ F'(\xi) = 0 $，得到

$$

f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0.

$$

整理后即为

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

这正是拉格朗日中值定理的结论。

结论：

通过构造辅助函数并利用罗尔定理，我们成功证明了拉格朗日中值定理。这一结果不仅体现了函数的整体性质与局部性质之间的联系，还为研究函数提供了重要的工具。拉格朗日中值定理不仅是数学分析的基础，也是许多实际问题建模的重要理论依据。

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